Trong trận đấu bóng đá giữa 2 đội Real Madrid và Barcelona, trọng tài cho đội Barcelona được hưởng một quả Penalty. Cầu thủ sút phạt ngẫu nhiên vào 1 trong bốn vị trí 1, 2, 3, 4 và thủ môn bay người cản phá ngẫu nhiên đến 1 trong 4 vị trí 1,2,3,4 với xác suất như nhau. Biết nếu cầu thủ sút và thủ môn bay người cùng vào vị trí 1 hoặc 2 thì thủ môn cản phá được cú sút đó, nếu cùng vào vị trí 3 hoặc 4 thì xác suất cản phá thành công là \(50\% \). Tính xác suất của biến cố "cú sút không vào lưới"?

Cách 1.

Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 4.4 = 16\)

Gọi biến cố \(A = \) "Cú sút đó không vào lưới". Khi đó biến cố \(\bar A = \) "Cú sút đó vào lưới". Số phần tử của \(n(\bar A)\) là

Trường hợp 1. Cầu thủ sút vào vị trí 1 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay người. Do đó, có 3 khả năng xảy ra.

Trường hợp 2. Cầu thủ sút vào vị trí 2 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay người. Do đó, có 3 khả năng xảy ra.

Trường hợp 3. Cầu thủ sút vào vị trí 3 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay người. Do đó, có 3 khả năng xảy ra.

Trường hợp 4 . Cầu thủ sút vào vị trí 4 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay người. Do đó, có 3 khả năng xảy ra.

Trường hợp 5 . Cầu thủ sút vào vị trí 3 thủ môn bay vào vị trí 3

Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 1 cách bay người. Do đó, có 1 khả năng xảy ra. Trường hợp 6 . Cầu thủ sút vào vị trí 4 thủ môn bay vào vị trí 4

Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 1 cách bay người. Do đó, có 1 khả năng xảy ra. Khi đó \(n(\bar A) = 4.3 + 2.1 = 14\). Xác suất xảy ra biến cố \(\bar A\) là \(p(\bar A) = \dfrac{{4.3}}{{16}} + \dfrac{{2.1}}{{16}} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{{13}}{{16}}\).

Vậy \(p(A) = 1 - p(\bar A) = 1 - \dfrac{{13}}{{16}} = \dfrac{3}{{16}}\).

Cách 2.

Gọi \({A_i}\) là biến cố "cầu thủ sút phạt vào vị trí \(i\) ";

\({B_i}\) là biến cố "thủ môn bay người cản phá vào vị trí thứ \(i\) ".

Và \(C\) là biến cố "Cú sút phạt không vào lưới". Dễ thấy, \(P\left( {{A_i}} \right) = P\left( {{B_i}} \right) = \dfrac{1}{4}\).

Ta có \(P(C) = P\left( {{A_1}} \right)P\left( {{B_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right)P\left( {{B_2}} \right) + \dfrac{1}{2}P\left( {{A_3}} \right)P\left( {{B_3}} \right) + \dfrac{1}{2}P\left( {{A_4}} \right)P\left( {{B_4}} \right)\) \( = {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2} + \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2} + \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2} = \dfrac{3}{{16}}.\)