Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có $A\left( {3; - 4} \right),$ $B\left( {1;5} \right)$ và $C\left( {3;1} \right)$. Tính diện tích tam giác \(ABC\).

Cách 1:

+) Viết phương trình \(BC\):

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2; - 4} \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_{BC}}}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \left( {1; - 2} \right)\) là VTCP của \(BC\), do đó \(\overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {2;1} \right)\).

Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {1;5} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {2;1} \right)\) làm VTPT nên: \(BC:2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0\) hay \(BC:2x + y - 7 = 0\).

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}A\left( {3; - 4} \right)\\B\left( {1;5} \right),\,C\left( {3;1} \right)\end{array} \right. $$\to \left\{ \begin{array}{l}A\left( {3; - 4} \right)\\BC = 2\sqrt 5 \\BC:2x + y - 7 = 0  \end{array} \right.$

$\to \left\{ \begin{array}{l}BC = 2\sqrt 5 \\{h_A} = d\left( {A;BC} \right) = \sqrt 5\end{array} \right.$

 $ \to {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.2\sqrt 5 .\sqrt 5  = 5.$