Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {4;{\rm{ 1}}} \right)\), đường thẳng \(d\) qua \(M\), \(d\) cắt tia \(Ox\), \(Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;{\rm{ 0}}} \right)\), \(B\left( {0;{\rm{ }}b} \right)\) sao cho tam giác \(ABO\) (\(O\) là gốc tọa độ) có diện tích nhỏ nhất. Giá trị \(a - 4b\) bằng

Ta có phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\) ( theo giả thiết ta có \(a > 0,{\mkern 1mu} b > 0\))

Do \(d\) đi qua \(M\left( {4;{\rm{ 1}}} \right)\) nên ta có \(\dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} = 1\)

Mặt khác diện tích của tam giác vuông \(ABO\) là \({S_{ABO}} = \dfrac{1}{2}ab\)

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số $\dfrac{4}{a}$ và $\dfrac{1}{b}$ ta có \(1 = \dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{4}{a}.\dfrac{1}{b}}  = \dfrac{4}{{\sqrt {ab} }}\)\( \Leftrightarrow \sqrt {ab}  \ge 4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}ab \ge 8\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{4}{a} = \dfrac{1}{b}$

Vậy diện tích của tam giác vuông \(ABO\) nhỏ nhất bằng \(8\) khi \(a\), \(b\) thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{a} = \dfrac{1}{b}\\\dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow a - 4b = 8 - 4.2 = 0\).