Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}$, điểm $A (2; -1; 1)$. Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d$. Viết phương trình mặt cầu $(C)$ có tâm $I$ và đi qua $A$.
Trả lời bởi giáo viên
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A$ , vuông góc $\left( d \right)$ là:
$ - 1.\left( {x - 2} \right) + 1.\left( {y + 1} \right) + 2.\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow -x + y + 2z + 1 = 0$
Gọi \(I\left( {1 - t;2 + t; - 1 + 2t} \right) = d \cap \left( P \right)\), khi đó:
\( - \left( {1 - t} \right) + \left( {2 + t} \right) + 2\left( { - 1 + 2t} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow I\left( {1;2; - 1} \right)\)
Có $I{A^2} = 14$. Phương trình mặt cầu là:
${\left( {x-1} \right)^2} + {\left( {y-2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 14$
Hướng dẫn giải:
+ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$, vuông góc $(d)$: nhận VTCP của $d$ làm VTPT
+ Tìm giao của $(d)$ và $(P)$ là $I$.
+ Tính $R = IA$. Viết phương trình mặt cầu.