Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm \(A(1; - 2;3)\) và đường thẳng $d$ có phương trình \(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 1}}\). Tính đường kính của mặt cầu $(S)$ có tâm $A$ và tiếp xúc với đường thẳng $d$.
Trả lời bởi giáo viên
Phương trình mặt cầu $(S) $ có dạng ${(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + (z - 3){}^2 = {R^2}$
Phương trình tham số của $d$ là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 2 + t\\z = - 3 - t\end{array} \right.\)
Tọa độ giao điểm của $(S)$ và $d$ là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = {R^2}\\x = - 1 + 2t\\y = 2 + t\\z = - 3 - t\end{array} \right.\) (*)
$(S)$ tiếp xúc với $d$ khi và chỉ khi $(*)$ có nghiệm kép
\( \Leftrightarrow {( - 2 + 2t)^2} + {(4 + t)^2} + {( - 6 - t)^2} = {R^2}\) có nghiệm kép
\( \Leftrightarrow 6{t^2} + 12t + 56 - R{}^2 = 0\) có nghiệm kép
\( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( { - 6} \right)^2} - 6.(56 - R{}^2) = 0 \Leftrightarrow 6{R^2} - 300 = 0 \Leftrightarrow {R^2} = 50 \Leftrightarrow R = 5\sqrt 2 \)
Suy ra đường kính của mặt cầu $(S)$ là \(10\sqrt 2 \).
Hướng dẫn giải:
$(S)$ tiếp xúc với $d$ khi và chỉ khi hệ phương trình tọa độ giao điểm của $(S)$ và $d$ có nghiệm kép.
Giải thích thêm:
- Có thể sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để tính bán kính mặt cầu:
\(R = d\left( {A,d} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}\)
- Từ đó suy ra đường kính \(D = 2R\)