Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z - 3 = 0\) và đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\). Hình chiếu vuông góc của d trên (P) có phương tình là:

Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) với : \(vtcp\,\overrightarrow {{u_d}} \left( {1;2; - 1} \right);\,\,vtpt\,\overrightarrow {{n_P}} \left( {1;1;1} \right)\) ta có :

\(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 1.1 + 2.1 + \left( { - 1} \right).1 = 2 \ne 0\) . Nên (d) cắt (P)

Gọi \(H = d \cap \left( P \right) \Rightarrow H\left( {t;2t - 1; - t + 2} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow t + 2t - 1 - t + 2 - 3 = 0 \Leftrightarrow 2t - 2 = 0 \Rightarrow t = 1\)

\( \Rightarrow H\left( {1;1;1} \right)\)

Lấy \(A\left( {2;3;0} \right) \in d\). Pt đường thẳng đi qua A vuông góc với (P) \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + t\\z = t\end{array} \right.\)

Gọi K là hình chiếu của A lên (P) \( \Rightarrow K\left( {2 + t;3 + t;t} \right) \in \left( P \right)\)

\( \Rightarrow 2 + t + 3 + t + t - 3 = 0 \Leftrightarrow 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{2}{3} \Rightarrow K\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)\) 

\(\overrightarrow {HK}  = \left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{{ - 5}}{3}} \right)//\left( {1;4; - 5} \right)\) đi qua \(H\left( {1;1;1} \right)\)