Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + \dfrac{9}{2} = 0\) và hai điểm \(A(0;2;0)\)\(,B(2; - 6; - 2)\) Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc \(\left( S \right)\) thỏa mãn tích \(\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MB} \) có giá trị nhỏ nhất. Tổng \(a + b + c\) bằng

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2;1} \right)\) và bán kính \(R = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow E\left( {1; - 2; - 1} \right)\) và \(AB = 6\sqrt 2 \).

Ta có :

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \left( {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {EA} } \right)\left( {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {EB} } \right)\) \( = M{E^2} + \overrightarrow {ME} .\left( {\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EB} } \right) + \overrightarrow {EA} .\overrightarrow {EB} \)

\( = M{E^2} + \overrightarrow {ME} .\overrightarrow 0  - \overrightarrow {EB} .\overrightarrow {EB}  = M{E^2} - \dfrac{1}{4}A{B^2}\)

Suy ra \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) đạt GTNN khi \(ME\) đạt GTNN.

Lại có : \(ME + MI \ge IE \Rightarrow ME + MI \ge IN + NE \Rightarrow ME \ge NE\)

\( \Rightarrow ME\) đạt \(GTNN\) khi \(M \equiv N\) với \(N = IE \cap \left( S \right)\).

Đường thẳng \(IE\) đi qua \(I\left( { - 1;2;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {IE}  = \left( {2; - 4; - 2} \right)\) hay \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow {IE}  = \left( {1; - 2; - 1} \right)\) làm VTCP nên \(IE:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 2 - 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).

\(N = IE \cap \left( S \right)\) nên \({\left( { - 1 + t} \right)^2} + {\left( {2 - 2t} \right)^2} + {\left( {1 - t} \right)^2} + 2\left( { - 1 + t} \right) - 4\left( {2 - 2t} \right) - 2\left( {1 - t} \right) + \dfrac{9}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 6{\left( {t - 1} \right)^2} + 12\left( {t - 1} \right) + \dfrac{9}{2} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 =  - \dfrac{1}{2}\\t - 1 =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{2}\\t =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)  \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}N\left( { - \dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2}} \right) \Rightarrow NE = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}\\N\left( { - \dfrac{3}{2};3;\dfrac{3}{2}} \right) \Rightarrow NE = \dfrac{{5\sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\)

\(M{E_{\min }} = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}\) khi \(M \equiv N\left( { - \dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2}} \right)\) \( \Rightarrow a + b + c =  - \dfrac{1}{2} + 1 + \dfrac{1}{2} = 1\).