Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {2; - 2;4} \right);\,\,B\left( { - 3;3; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z - 8 = 0\). Xét điểm M là điểm thay đổi thuộc \(\left( P \right)\), giá trị nhỏ nhất của \(2M{A^2} + 3M{B^2}\) bằng:

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn đẳng thức : \(2\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {2 - a; - 2 - b;4 - c} \right) + 3\left( { - 3 - a;3 - b; - 1 - c} \right) = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - 2a - 9 - 3a = 0\\ - 4 - 2b + 9 - 3b = 0\\8 - 2c - 3 - 3c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5a - 5 = 0\\ - 5b + 5 = 0\\ - 5c + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;\;1;\;1} \right)\end{array}\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}2M{A^2} + 3M{B^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + 3{\overrightarrow {MB} ^2}\\ = 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = 5M{I^2} + \left( {2I{A^2} + 3I{B^2}} \right) + \overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB} } \right)\\ = 5M{I^2} + \left( {2I{A^2} + 3I{B^2}} \right)\end{array}\)

Do I, A, B cố định nên \(2I{A^2} + 3I{B^2} = const\).

 \( \Rightarrow {\left( {2M{A^2} + 3M{B^2}} \right)_{\min }} \Leftrightarrow 5M{I^2}_{\min }\)\( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu của I trên (P)

Gọi \(\left( \Delta  \right)\) là đường thẳng đi qua I vuông góc với (P) , ta có phương trình của \(\left( \Delta  \right):\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\).

M là hình chiếu của I lên (P) \( \Rightarrow M \in \left( \Delta  \right) \Rightarrow M\left( { - 1 + 2t;1 - t;1 + 2t} \right)\) .

Lại có \(M \in \left( P \right)\)  

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( { - 1 + 2t} \right) - \left( {1 - t} \right) + 2\left( {1 + 2t} \right) - 8 = 0\\ \Leftrightarrow  - 2 + 4t - 1 + t + 2 + 4t - 8 = 0\\ \Leftrightarrow 9t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {1;0;3} \right)\end{array}\)

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}M{I^2} = 4 + 1 + 4 = 9;\;\;\;I{A^2} = 9 + 9 + 9 = 27;\;\;\;I{B^2} = 4 + 4 + 4 = 13\\ \Rightarrow {\left( {2M{A^2} + 3M{B^2}} \right)_{\min }} = 5.9 + 2.27 + 3.12 = 135\end{array}\)