Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có: \(\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} \)
$\Rightarrow \int {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {\dfrac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} - \int {\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}dx} \,\,\left( 1 \right)$
Ta tính \(\int {\dfrac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {\dfrac{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} \) bằng phương pháp tích phân từng phân như sau:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \dfrac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \dfrac{1}{{{x^2} + 1}}\end{array} \right. \)
$\Rightarrow \int {\dfrac{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} = - \dfrac{x}{{{x^2} + 1}} + \int {\dfrac{{dx}}{{{x^2} + 1}}} + C\,\,\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra \(\int {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = - \dfrac{x}{{{x^2} + 1}} + \int {\dfrac{{dx}}{{{x^2} + 1}}} + C - \int {\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}dx} = - \dfrac{x}{{{x^2} + 1}} + C.\)
Hướng dẫn giải:
Nhận xét \(\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} \Rightarrow \int {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {\dfrac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} - \int {\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}dx} .\)
Sử dụng phương pháp tích phần từng phần để tính tích phân thứ nhất, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \dfrac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\end{array} \right.\) .
Câu hỏi khác
- Bài tập phần tích phân thi ĐGNL ĐHQG HN
- Bài tập phần sử dụng phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm thi ĐGNL ĐHQG HN
- Bài tập phần sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm thi ĐGNL ĐHQG HN
- Bài tập phần sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân thi ĐGNL ĐHQG HN
- Bài tập phần nguyên hàm thi ĐGNL ĐHQG HN
