Đăng nhập Đăng ký

Câu hỏi:

2 năm trước

Tính $\int {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx}$ ?

$\dfrac{x}{{{x^2} + 1}} + C$

$\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}} + C$

$\dfrac{{ - x}}{{{x^2} + 1}} + C$

$\dfrac{{ - 2x}}{{{x^2} + 1}} + C$

Xem đáp án

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm - MÔN TOÁN - Lớp 12. Thi ngay

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: c

Ta có: $\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2} + 1}}$

$\Rightarrow \int {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {\dfrac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} - \int {\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}dx} \,\,\left( 1 \right)$

Ta tính $\int {\dfrac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {\dfrac{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}}$ bằng phương pháp tích phân từng phân như sau:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \dfrac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \dfrac{1}{{{x^2} + 1}}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \int {\dfrac{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} = - \dfrac{x}{{{x^2} + 1}} + \int {\dfrac{{dx}}{{{x^2} + 1}}} + C\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\int {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = - \dfrac{x}{{{x^2} + 1}} + \int {\dfrac{{dx}}{{{x^2} + 1}}} + C - \int {\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}dx} = - \dfrac{x}{{{x^2} + 1}} + C.$

Hướng dẫn giải:

Nhận xét $\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} \Rightarrow \int {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {\dfrac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} - \int {\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}dx} .$

Sử dụng phương pháp tích phần từng phần để tính tích phân thứ nhất, đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \dfrac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\end{array} \right.$ .

Câu hỏi khác

Câu 1:

Chọn công thức đúng:

$\int {udv} = uv + \int {vdu}$

$\int {udv} = uv - \int {vdu}$

$\int {udv} = \int {uv} - \int {vdu}$

$\int {udv} = \int {uvdv} - \int {vdu}$

Xem đáp án

111

111 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 2:

Trong phương pháp nguyên hàm từng phần, nếu $\left\{ \begin{array}{l}u = g\left( x \right)\\dv = h\left( x \right)dx\end{array} \right.$ thì:

$\left\{ \begin{array}{l}du = g'\left( x \right)dx\\v = \int {h\left( x \right)dx} \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}du = g\left( x \right)dx\\v = \int {h\left( x \right)dx} \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}du = \int {g\left( x \right)dx} \\v = h\left( x \right)\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}du = g'\left( x \right)dx\\v = h\left( x \right)\end{array} \right.$

Xem đáp án

107

107 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 3:

Cho $F\left( x \right) = \int {\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx}$ . Tính $I = \int {f\left( x \right)dx}$ theo $F(x)$ .

$I = \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) - 2F\left( x \right) + C$

$I = F\left( x \right) - \left( {x + 1} \right)f\left( x \right)$

$I = \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) + C$

$I = \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) - F\left( x \right) + C$

Xem đáp án

111

111 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 4:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)$

$\int {f(x)dx = {x^3}\ln 3x - \dfrac{{{x^3}}}{3} + C}$

$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{9} + C}$

$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{3} + C}$

$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{{27}} + C}$

Xem đáp án

105

105 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 5:

Tính $\int {{x^3}\ln 3xdx}$

$\dfrac{1}{4}{x^4}\ln 3x + C$

$- \dfrac{1}{4}{x^4}\ln 3x - \dfrac{1}{{16}}{x^4} + C$

$- \dfrac{1}{4}{x^4}\ln 3x + \dfrac{1}{{16}}{x^4} + C$

$\dfrac{1}{4}{x^4}\ln 3x - \dfrac{1}{{16}}{x^4} + C$

Xem đáp án

114

114 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 6:

Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}$ và $\int {f'(x)} dx = (ax + b){e^x} + c$ với $a, b, c$ là các hằng số. Chọn mệnh đề đúng:

$a + b = 2$

$a + b = 3$

$a + b = 0$

$a + b = 1$

Xem đáp án

100

100 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 7:

Biết $F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}$ là nguyên hàm của hàm số $y = \left( {2x + 3} \right).{e^x}$ . Khi đó $b - a$ là

$- 1$

$3$

$1$

$2$

Xem đáp án

113

113 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước