Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm nguyên hàm $F(x)$ của \(f\left( x \right) = \dfrac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}\) biết $F(0) = 1$.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
\(F\left( x \right) = \int {\dfrac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}dx} = \int {\left( {{2^x} - 1} \right){e^{ - x}}dx} = \int {{2^x}{e^{ - x}}dx} - \int {{e^{ - x}}dx} \)
$= \int {{2^x}{e^{ - x}}dx} + {e^{ - x}} + {C_1} = I + {e^{ - x}} + {C_1}.$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {2^x}\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = {2^x}\ln 2dx\\v = - {e^{ - x}}\end{array} \right.$
$\begin{array}{l} \Rightarrow I = - {2^x}{e^{ - x}} + \ln 2\int {{2^x}{e^{ - x}}dx} + {C_2} = - {2^x}{e^{ - x}} + \ln 2.I + {C_2} \\ \Leftrightarrow \left( {\ln 2 - 1} \right)I + {C_2} = {2^x}{e^{ - x}} \Rightarrow I = \dfrac{{{2^x}{e^{ - x}}}}{{\ln 2 - 1}} + {C_2}.\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}{e^{ - x}}}}{{\ln 2 - 1}} + {e^{ - x}} + C = \dfrac{{{2^x}}}{{\left( {\ln 2 - 1} \right){e^x}}} + \dfrac{1}{{{e^x}}} + C\\ \Rightarrow F\left( 0 \right) = \dfrac{1}{{\ln 2 - 1}} + 1 + C = 1 \Rightarrow C = - \dfrac{1}{{\ln 2 - 1}}\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}}}{{\left( {\ln 2 - 1} \right){e^x}}} + \dfrac{1}{{{e^x}}} - \dfrac{1}{{\ln 2 - 1}} = \dfrac{1}{{\ln 2 - 1}}{\left( {\dfrac{2}{e}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{1}{e}} \right)^x} - \dfrac{1}{{\ln 2 - 1}}.\end{array}$
Hướng dẫn giải:
Tách nguyên hàm ban đầu thành \(F\left( x \right) = \int {\dfrac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}dx} = \int {\left( {{2^x} - 1} \right){e^{ - x}}dx} = \int {{2^x}{e^{ - x}}dx} - \int {{e^{ - x}}dx} .\)
Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tính nguyên hàm thứ nhất, bằng cách đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {2^x}\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right.$, lưu ý đây là nguyên hàm quay đầu.
Câu hỏi khác
- Bài tập phần tích phân thi ĐGNL ĐHQG HN
- Bài tập phần sử dụng phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm thi ĐGNL ĐHQG HN
- Bài tập phần sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm thi ĐGNL ĐHQG HN
- Bài tập phần sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân thi ĐGNL ĐHQG HN
- Bài tập phần nguyên hàm thi ĐGNL ĐHQG HN
