Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y =  - {x^3} - 6{x^2} + \left( {4m - 9} \right)x + 4\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) là:

Ta có : \(f'\left( x \right) =  - 3{x^2} - 12x + \left( {4m - 9} \right)\)

Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 3{x^2} - 12x + \left( {4m - 9} \right) \le 0\;\;\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 4m \le 3{x^2} + 12x + 9 = g\left( x \right)\;\;\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\\ \Rightarrow 4m \le \mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ; - 1} \right)} g\left( x \right)\end{array}\)

Xét hàm số :\(g\left( x \right) = 3{x^2} + 12x + 9\)  ta có :  \(g'\left( x \right) = 6x + 12 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ; - 1} \right)} g\left( x \right) = g\left( { - 2} \right) =  - 3\)

\( \Rightarrow 4m \le  - 3 \Leftrightarrow m \le  - \dfrac{3}{4}\)