Nguyên hàm của hàm số \(y = {\dfrac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{x + {e^{ - x}}}}dx} \) là:

Ta có: \(I = \int {\dfrac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{x + {e^{ - x}}}}dx}  = \int {\dfrac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{\dfrac{{x{e^x} + 1}}{{{e^x}}}}}dx}  = \int {\dfrac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^{2x}}}}{{x{e^x} + 1}}dx}  = \int {\dfrac{{x{e^x}\left( {x + 1} \right){e^x}}}{{x{e^x} + 1}}dx} .\)

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x{e^x}\\dv = \dfrac{{\left( {x + 1} \right){e^x}}}{{x{e^x} + 1}}dx = \dfrac{{d\left( {x{e^x} + 1} \right)}}{{x{e^x} + 1}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {{e^x} + x{e^x}} \right)dx = \left( {x + 1} \right){e^x}dx\\v = \ln \left| {x{e^x} + 1} \right|\end{array} \right.$

Khi đó ta có: \(I = x{e^x}\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \int {\ln \left| {x{e^x} + 1} \right|\left( {x + 1} \right){e^x}dx}  + C.\) 

Đặt $t = x{e^x} + 1 \Rightarrow dt = \left( {{e^x} + x{e^x}} \right)dx = \left( {x + 1} \right){e^x}dx  $

$\Rightarrow \int {\ln \left| {x{e^x} + 1} \right|\left( {x + 1} \right){e^x}dx}  = \int {\ln \left| t \right|dt}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left| t \right|\\dv = dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{t}dt\\v = t\end{array} \right. $

$\Rightarrow \int {\ln \left| t \right|dt}  = \ln \left| t \right|.t - \int {dt}  + C = \ln \left| t \right|.t - t + C $

$= \left( {x{e^x} + 1} \right)\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \left( {x{e^x} + 1} \right) + C.$

Vậy \(I = x{e^x}\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \left( {x{e^x} + 1} \right)\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + \left( {x{e^x} + 1} \right) + C\)

$ = x{e^x} + 1 - \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + C.$