Câu hỏi:
2 năm trước
Kết quả của tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{x\sqrt {1 + {x^3}} }}} \) có dạng \(I = a\ln 2 + b\ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right) + c\) với \(a,b,c \in Q\). Khi đó giá trị của $a$ bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Đặt \(t = \sqrt {1 + {x^3}} \Rightarrow {t^2} = 1 + {x^3} \Rightarrow 2tdt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \dfrac{2}{3}tdt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 \\x = 2 \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{x\sqrt {1 + {x^3}} }}} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^2}dx}}{{{x^3}\sqrt {1 + {x^3}} }}} = \dfrac{2}{3}\int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} - 1}}} = \left. {\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right|} \right|_{\sqrt 2 }^3 \\ = \dfrac{1}{3}\left( {\ln \dfrac{1}{2} - \ln \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)} \right) = - \dfrac{1}{3}\ln 2 - \dfrac{1}{3}\ln {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} = - \dfrac{1}{3}\ln 2 - \dfrac{2}{3}\ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right) \\ = a\ln 2 + b\ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right) + c \Rightarrow a = - \dfrac{1}{3}\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
+) Nhân cả tử và mẫu của hàm số dưới dấu tích phân với \({x^2}\).
+) Sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân:
- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .
- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).
