Hai dòng điện thẳng dài đặt song song cùng chiều, cách nhau \(d = 12cm\) trong không khí có \({I_2} = {I_1} = I = 10A\). Xác định cảm ứng từ tổng hợp tại điểm M cách đều \({I_1}\) và \({I_2}\) một khoảng x. Hãy xác định x để độ lớn cảm ứng từ tổng hợp do hai dòng điện gây ra đạt giá trị cực đại. Tính giá trị cực đại đó

Giả sử hai dây dẫn được đặt vuông góc với mặt phẵng hình vẽ, dòng \({I_1}\) đi vào tại A, dòng \({I_2}\) đi vào tại B. Các dòng điện \({I_1}\) và \({I_2}\) gây ra tại M các véc tơ cảm ứng từ \(\mathop {{B_1}}\limits^ \to  \) và \(\mathop {{B_2}}\limits^ \to  \) có phương chiều như hình vẽ:

Có độ lớn: \({B_1} = {B_2} = {2.10^{ - 7}}\dfrac{I}{x}\)

Từ hình ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH = \dfrac{{12}}{2} = 6cm = 0,06m\\HM = \sqrt {A{M^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{x^2} - 0,{{06}^2}} \\cos\alpha  = \dfrac{{HM}}{{AM}}\end{array} \right.\)

Cảm ứng từ tổng hợp tại M là:

\(\mathop B\limits^ \to   = \mathop {{B_1}}\limits^ \to   + \mathop {{B_2}}\limits^ \to  \) có phương chiều như hình vẽ và có độ lớn:

\(\begin{array}{l}B = 2{B_1}cos\alpha  = {2.2.10^{ - 7}}\dfrac{I}{x}\dfrac{{HM}}{{AM}}\\ = {4.10^{ - 7}}.\dfrac{{10}}{x}\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 0,{{06}^2}} }}{x}\\ = {4.10^{ - 6}}\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 0,{{06}^2}} }}{{{x^2}}}\end{array}\)

Nhận thấy, B đạt cực đại khi \(\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 0,{{06}^2}} }}{{{x^2}}}\) đạt cực đại:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 0,{{06}^2}} }}{{{x^2}}} = \sqrt {\dfrac{{{x^2} - 0,{{06}^2}}}{{{x^4}}}}  = \sqrt {\dfrac{1}{{{x^2}}}\left( {1 - \dfrac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}}} \right)} \\ = \sqrt {\dfrac{1}{{0,{{06}^2}}}\dfrac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}}\left( {1 - \dfrac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}}} \right)}  = \dfrac{1}{{0,06}}\sqrt {\dfrac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}}\left( {1 - \dfrac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}}} \right)} \end{array}\)

Do \(d < x \to 1 - \dfrac{{0,{{06}^2}}}{{{{\rm{x}}^2}}} > 0\)

Áp dụng BĐT cosi  (\(\sqrt {ab}  \le \dfrac{{a + b}}{2}\) ) ta có: \(\sqrt {\dfrac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}}\left( {1 - \dfrac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}}} \right)}  \le \dfrac{{\dfrac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}} + 1 - \dfrac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}}}}{2} = \dfrac{1}{2}\)

Dấu “ = ” xảy ra khi:  \(\dfrac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}} = 1 - \dfrac{{0,{{06}^2}}}{{{x^2}}} \Rightarrow x = 6\sqrt 2 {.10^{ - 2}}m\)

Khi đó \({B_{max}} = {4.10^{ - 6}}\dfrac{1}{{0,06}}.\dfrac{1}{2} = 3,{33.10^{ - 5}}T\)