Gọi ${z_{1,}}$${z_2}$ là các nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 4z + 5 = 0$. Đặt $w = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}$, khi đó

Ta có:

${z^2} + 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow {(z + 2)^2} =  - 1 \Leftrightarrow {(z + 2)^2} = {i^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} =  - 2 + i\\{z_2} =  - 2 - i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + 1 = i - 1\\{z_2} + 1 =  - i - 1\end{array} \right.$

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{({z_1} + 1)^2} = {(i - 1)^2} =  - 2i\\{({z_2} + 1)^2} = {( - i - 1)^2} = 2i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{({z_1} + 1)^4} =  - 4\\{({z_2} + 1)^4} =  - 4\end{array} \right.\\ \Rightarrow {({z_1} + 1)^{100}} + {({z_2} + 1)^{100}} = {\left( { - 4} \right)^{25}} + {\left( { - 4} \right)^{25}} = 2.{\left( { - {2^2}} \right)^{25}} =  - {2^{51}}\end{array}\)