Câu hỏi:
1 năm trước
Gọi ${z_{1,}}$${z_2}$ là các nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 4z + 5 = 0$. Đặt $w = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}$, khi đó
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Ta có:
${z^2} + 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow {(z + 2)^2} = - 1 \Leftrightarrow {(z + 2)^2} = {i^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = - 2 + i\\{z_2} = - 2 - i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + 1 = i - 1\\{z_2} + 1 = - i - 1\end{array} \right.$
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{({z_1} + 1)^2} = {(i - 1)^2} = - 2i\\{({z_2} + 1)^2} = {( - i - 1)^2} = 2i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{({z_1} + 1)^4} = - 4\\{({z_2} + 1)^4} = - 4\end{array} \right.\\ \Rightarrow {({z_1} + 1)^{100}} + {({z_2} + 1)^{100}} = {\left( { - 4} \right)^{25}} + {\left( { - 4} \right)^{25}} = 2.{\left( { - {2^2}} \right)^{25}} = - {2^{51}}\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương pháp giải phương trình bậc hai trên tập hợp số phức:
- Bước 1: Tính \(\Delta = {B^2} - 4AC\).
- Bước 2: Tìm các căn bậc hai của \(\Delta \)
- Bước 3: Tính các nghiệm:
+ Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({z_{1,2}} = - \dfrac{B}{{2A}}\)
+ Nếu \(\Delta \ne 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_{1,2}} = \dfrac{{ - B \pm \sqrt \Delta }}{{2A}}\) (ở đó \(\sqrt \Delta \) là kí hiệu căn bậc hai của số phức \(\Delta \))
