Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\left( {{4^x} - {{5.2}^{x + 2}} + 64} \right)\sqrt {2 - \log (4x)}  \ge 0$ ?

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - \log (4x) \ge 0}\\{4x > 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 < x \le 25.} \right.$

Ta có $\left( {{4^x} - {{5.2}^{x + 2}} + 64} \right)\sqrt {2 - \log (4x)}  \ge 0$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - \log (4x) = 0{\rm{ (1) }}}\\{{4^x} - {{5.2}^{x + 2}} + 64 \ge 0{\rm{ (2) }}}\end{array}} \right.$

$(1) \Leftrightarrow \log (4x) = 2 \Leftrightarrow 4x = {10^2}$ $\Leftrightarrow x = 25({\rm{tm}}).$

$(2) \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - {20.2^x} + 64 \ge 0$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^x} \ge 16}\\{{2^x} \le 4}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 4}\\{x \le 2}\end{array}} \right.} \right.$

Kết hợp với điều kiện, ta có các giá trị nguyên thoả mãn trong trường hợp này là $x \in \{ 1;2\}  \cup \{ 4;5;6; \ldots .25\}$.

Vậy có 24 số nguyên $x$ thoả mãn đề bài