Câu hỏi:
2 năm trước
Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 10 số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{2^{x + 1}} - \sqrt 2 } \right)\left( {{2^x} - y} \right) < 0\) ?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Đặt \(t = {2^x} > 0\) thì ta có bất phương trình \((2t - \sqrt 2 )(t - y) < 0\) hay \(\left( {t - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)(t - y) < 0(*)\).
Vì \(y \in {\mathbb{Z}^ + }\)nên \(y > \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\), do đó \((*) \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} < t < y \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} < {2^x} < y \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < x < {\log _2}y\).
Nếu \({\log _2}y > 10\) thì \(x \in \{ 0,1,2, \ldots ,10\} \) đều là nghiệm, không thỏa mãn.
Suy ra \({\log _2}y \le 10\) hay \(y \le {2^{10}} = 1024\), từ đó có \(y \in \{ 1,2, \ldots ,1024\} \).
Hướng dẫn giải:
- Đặt \(t = {2^x} > 0\)
- Đưa bất phương trình tích của ẩn t
- Đánh giá x với y
- Tìm các giá trị của y.
