Có bao nhiêu số nguyên \(a(a \ge 2)\) sao cho tồn tại số thực \(x\) thỏa mãn: \({\left( {{a^{\log x}} + 2} \right)^{\log a}} = x - 2?\)

Điều kiện \(x > 0\). Đặt \(y = {a^{\log x}} + 2 > 0\) thì \({y^{\log a}} = x - 2 \Leftrightarrow {a^{\log y}} + 2 = x\).

Từ đó ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = {a^{\log x}} + 2}\\{x = {a^{\log y}} + 2}\end{array}} \right.\)

Do \(a \ge 2\) nên hàm số \(f(t) = {a^t} + 2\) là đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Giả sử \(x \ge y\) thì \(f(y) \ge f(x)\) sẽ kéo theo \(y \ge x\), tức là phải có \(x = y\).

Tương tự với \(x \le y\).

Ta đưa về xét phương trình \(x = {a^{\log x}} + 2 \Leftrightarrow x = {x^{\log a}} + 2\) với \(x > 0\) hay \(x - {x^{\log a}} = 2\).

Ta phải có \(x > 2\) và \(x > {x^{\log a}} \Leftrightarrow 1 > \log a \Leftrightarrow a < 10\).

Ngược lại, với \(a < 10\) thì xét hàm số liên tục \(g(x) = x - {x^{\log a}} - 2\)\( = {x^{\log a}}\left( {{x^{1 - \log a}} - 1} \right) - 2\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g(x) =  + \infty \) và \(g(2) < 0\)

=>\(g(x)\) sẽ có nghiệm trên \((2; + \infty )\).

Do đó, mọi số \(a \in \{ 2,3, \ldots ,9\} \) đều thỏa mãn.