Cho số phức \(z\)  có tích phần thực và phần ảo bằng \(625\). Gọi \(a\) là phần thực của số phức \(\dfrac{z}{{3 + 4i}}\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| a \right|\) bằng:

Đặt \(z = x + yi\). Theo giả thiết ta có \(xy = 625.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{z}{{3 + 4i}} = \dfrac{{x + yi}}{{3 + 4i}} = \dfrac{{\left( {x + yi} \right)\left( {3 - 4i} \right)}}{{25}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{3x + 4y + \left( { - 4x + 3y} \right)i}}{{25}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{3x + 4y}}{{25}} + \dfrac{{ - 4x + 3y}}{{25}}i\end{array}\)

Số phức \(\dfrac{z}{{3 + 4i}}\) có phần thực là \(a = \dfrac{{3x + 4y}}{{25}} \Rightarrow \left| a \right| = \dfrac{{\left| {3x + 4y} \right|}}{{25}}\).

Ta có: \(xy = 625 \Leftrightarrow y = \dfrac{{625}}{x}\)\( \Rightarrow \left| a \right| = \dfrac{{\left| {3x +4. \dfrac{{625}}{x}} \right|}}{{25}}\).

Vì \(3x,\,\,\dfrac{{625}}{x}\) cùng dấu nên \(\left| {3x +4 .\dfrac{{625}}{x}} \right| \ge 2\sqrt {3x.4.\dfrac{{625}}{x}}  = 100\sqrt 3 \).

Vậy \(\left| a \right| \ge 4\sqrt 3 \). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 3x = 4.\dfrac{{625}}{x} \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{{50}}{{\sqrt 3 }}\).