Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp $S.ABCD $ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a.$ Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $H$ thuộc đoạn $BD$ sao cho $HD = 3HB.$ Biết góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và mặt đáy bằng ${45^0}.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BD$ là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Kẻ \(HK \bot CD \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right)\), do đó góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SKH} = {45^0}\)
Ta có \(\Delta HKD\) vuông cân tại $K$, do vậy \(HK = KD = \dfrac{{3a}}{2} \Rightarrow SH = HK.\tan {45^0} = \dfrac{{3a}}{2}\)
Dựng \(Ax//BD\) ta có \(d\left( {SA,BD} \right) = d\left( {BD,\left( {SAx} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SAx} \right)} \right)\)
Dựng \(HE \bot Ax \Rightarrow HE = OA = a\sqrt 2 \)
Dựng $HF \bot SE\,\,\,\left( 1 \right)$ ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}Ax \bot SH\\Ax \bot HE\end{array} \right. \Rightarrow Ax \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow Ax \bot HF\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow HF \bot \left( {SAx} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAx} \right)} \right) = HF$
Vậy $HF = \dfrac{{SH.HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{3a}}{2}.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \dfrac{{3a\sqrt {34} }}{{17}} = d$.
Hướng dẫn giải:
Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Câu hỏi khác
- Bài tập phần hai đường thẳng vuông góc thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần hai mặt phẳng vuông góc thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập góc giữa hai mặt phẳng môn toán ĐGNL có lời giải
