Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 1} \right){\left( {13x - 15} \right)^3}\). Khi đó số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( {\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} \right)\) là
Chỉ được điền các số nguyên, phân số dạng a/b
Đáp án:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án:
Ta có:
\(y' = \left( {\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} \right)'.f'\left( {\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} \right)\)\( = \dfrac{{5\left( {{x^2} + 4} \right) - 5x.2x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}.{\left( {\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} \right)^2}\)\(\left( {\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}} - 1} \right){\left( {13.\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}} - 15} \right)^2}\)
\( = \dfrac{{ - 5{x^2} + 20}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}{\left( {\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} \right)^2}\left( {\dfrac{{5x - {x^2} - 4}}{{{x^2} + 4}}} \right)\)\({\left( {\dfrac{{65x - 15{x^2} - 60}}{{{x^2} + 4}}} \right)^3}\)
\( = \dfrac{{5\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}.\dfrac{{{{\left( {5x} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}.\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}}{{{x^2} + 4}}\)\(.\dfrac{{{{\left( {3 - x} \right)}^3}{{\left( {15x - 20} \right)}^3}}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\\x = 0\left( {nghiemkep} \right)\\x = 1\\x = 4\\x = 3\\x = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)
=> 6 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép
Vậy hàm số có 6 điểm cực trị.
Hướng dẫn giải:
- Tính đạo hàm của hàm số \(y = f\left( {\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} \right)\)
- Giải phương trình \(y' = 0\) tìm số nghiệm đơn.
