Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _2}\left( {{{2.5}^x} - 2} \right) \ge m\) có nghiệm với mọi \(x \ge 1\)
Chỉ điền số nguyên, phân số dạng a/b
Đáp án:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án:
Điều kiện: x>0
\({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _2}\left( {{{2.5}^x} - 2} \right) \ge m\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {{5^x} - 1} \right)} \right] \ge m\left( 1 \right)\)
Đặt \(t = {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right)\), với \(x \ge 1 \Rightarrow t \ge 2\)
Ta có: (1) trở thành
\(m \le {t^2} + t\left( 2 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + t\) trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\) ta có:
\(f'\left( t \right) = 2t + 1 > 0,\forall t\left[ {2; + \infty } \right)\)
Để bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi \(t \ge 2\) thì ta cần \(m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} f\left( t \right)\) hay \(m \le 6\)
Hướng dẫn giải:
- Đặt \(t = {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right)\)
- Cô lập m
- Tìm m.
