Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1}&{{\text{ khi }}\,x \ge 2}\\{{x^2} - 2x + 3}&{{\text{ khi }}\,x < 2}\end{array}} \right.\). Tích phân \(\int_0^{\frac{\pi }{2}} f (2\sin x + 1)\cos x\;{\rm{d}}x\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Trong tích phân \(I\) đã cho, đặt \(t = 2\sin x + 1\) thì \(dt = 2\cos x\;dx\).
Đổi cận: $x=0=>t=1;$$x=\dfrac{\pi}{2}=>t=3$
Ta có \(I = \dfrac{1}{2}\int_1^3 f (t)dt=\dfrac{1}{2}\int_1^2 f (t)dt+\dfrac{1}{2}\int_2^3 f (t)dt\) \( = \dfrac{1}{2}\int_1^2 {\left( {{t^2} - 2t + 3} \right)} dt + \dfrac{1}{2}\int_1^3 {\left( {{t^2} - 1} \right)} dt\)\( = \dfrac{{23}}{6}\)
Hướng dẫn giải:
- Đặt \(t = 2\sin x + 1\), dùng phương pháp đổi biến số.
- Tách tích phân thành từ 1 đến 2 và từ 2 đến 3.
