Cho hai điểm \(A(1;2; - 1)\) và \(B( - 1;3;1)\). Tọa độ điểm $M$ nằm trên trục tung sao cho tam giác $ABM$ vuông tại $M$ .

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {1;0; - 2} \right)\,,\,{\rm{ }}\overrightarrow b  = \left( { - 2;1;3} \right)\), \(\,\overrightarrow c  = \left( { - 4;3;5} \right)\). Tìm hai số thực \(m\), \(n\) sao cho \(m.\overrightarrow a  + n.\overrightarrow b  = \overrightarrow c \) ta được:

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\). Tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.

Hoành độ điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OM}  = 2\overrightarrow j  - \overrightarrow i  + \overrightarrow k \) là:

Véc tơ \(\overrightarrow u  =  - \overrightarrow i  + \overrightarrow k \) có tọa độ là:

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 \) thì giá của \(\overrightarrow n \) :

Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u  = \left( {a;0;1} \right),\overrightarrow v  = \left( { - 2;0;c} \right)\). Biết \(\overrightarrow u  = \overrightarrow v \), khi đó: