Cho $f\left( x \right)$ mà đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ như hình bên. Hàm số $y = f\left( {x - 1} \right) + {x^2} - 2x$ đồng biến trên khoảng?

Ta có: $y' = f'\left( {x - 1} \right) + 2x - 2 = 0$ $\Leftrightarrow f'\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = 0$.

Đặt $t = x - 1$ ta có $f'\left( t \right) + 2t = 0$ $\Leftrightarrow f'\left( t \right) - \left( { - 2t} \right) = 0$.

Vẽ đồ thị hàm số $y = f'\left( t \right)$ và $y =  - 2t$ trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Xét $y' \ge 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) \ge  - 2t \Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y = f'\left( t \right)$ nằm trên đường thẳng $y =  - 2t$.

Xét $x \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow$ thỏa mãn.

Xét $x \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow t \in \left( { - 2; - 1} \right) \Rightarrow$ Không thỏa mãn.

Xét $x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow$ Không thỏa mãn.

Xét $x \in \left( { - 2; - 1} \right) \Rightarrow t \in \left( { - 3; - 2} \right) \Rightarrow$ Không thỏa mãn.