Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ , với ${u_n} = \dfrac{{3n - 1}}{{3n + 7}}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Cho dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ xác định bởi ${x_1} = 5$ và ${x_{n + 1}} = {x_n} + n,\,\,\forall n \in N^*$. Số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ là:

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right),$ biết ${u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.2n.$ Mệnh đề nào sau đây sai?

Giá trị của tổng $S = 1-2 + 3-4 + ... - 2n + \left( {2n + 1} \right)$ là:

Một học sinh chứng minh mệnh đề ${\rm{''}}{8^n} + 1$ chia hết cho ${\rm{7, }}\forall n \in {\mathbb{N}^*}''$ $\left( * \right)$ như sau:

$\bullet$ Giả sử $\left( * \right)$ đúng với $n = k$, tức là ${8^k} + 1$ chia hết cho $7.$

$\bullet$ Ta có: ${8^{k + 1}} + 1 = 8\left( {{8^k} + 1} \right) - 7$, kết hợp với giả thiết ${8^k} + 1$ chia hết cho $7$ nên suy ra được ${8^{k + 1}} + 1$ chia hết cho $7.$ Vậy đẳng thức $\left( * \right)$ đúng với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}.$

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến $P\left( n \right)$ đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ ($p$ là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề $P\left( n \right)$ đúng với $n = k$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho tổng ${S_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}$. Mệnh đề nào đúng?

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi ${u_1} = \dfrac{1}{2}$  và ${u_n} = {u_{n - 1}} + 2n$  với mọi $n \ge 2$. Khi đó ${u_{50}}$ bằng: