Câu hỏi:
2 năm trước
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = \dfrac{1}{2};{u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n}}}{{2\left( {n + 1} \right){u_n} + 1}},\,\,n \ge 1\) . \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} < \dfrac{{2017}}{{2018}}\) khi $n$ có giá trị dương lớn nhất là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Dễ dàng chỉ ra được \({u_n} \ge 0\,\,\forall n \ge 1\)
Từ hệ thức truy hồi của dãy số ta có
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{u_{n + 1}}}} = \dfrac{{2\left( {n + 1} \right){u_n} + 1}}{{{u_n}}} = \dfrac{1}{{{u_n}}} + 2n + 2\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{{u_n}}} = \dfrac{1}{{{u_{n - 1}}}} + 2\left( {n - 1} \right) + 2 = \dfrac{1}{{{u_{n - 2}}}} + 2\left( {n - 1} \right) + 2 + 2\left( {n - 2} \right) + 2 = ... = \dfrac{1}{{{u_1}}} + 2\left( {1 + 2 + ... + n - 1} \right) + 2\left( {n - 1} \right)\\ = 2 + 2\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + 2n - 2 = {n^2} + n\\ \Rightarrow {u_n} = \dfrac{1}{{{n^2} + n}} = \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n} = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 1}} = 1 - \dfrac{1}{{n + 1}} = \dfrac{n}{{n + 1}} < \dfrac{{2017}}{{2018}}\\ \Rightarrow 2018n < 2017n + 2017 \Leftrightarrow n < 2017.\end{array}\)
Suy ra số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là $n = 2016$.
Hướng dẫn giải:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Suy ra các số hạng từ \({u_1}\) đến \({u_n}\) và tính tổng
