Cho đa thức \(f\left( x \right) = {a_4}{x^4} + {a_3}{x^3} + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0}\) . Biết rằng \(f\left( 1 \right) = f\left( { - 1} \right)\); \(f\left( 2 \right) = f\left( { - 2} \right)\). Chọn câu đúng.

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}f(1) = {a_4}{.1^4} + {a_3}{.1^3} + {a_2}{.1^2} + {a_1}.1 + {a_0} \\= {a_4} + {a_3} + {a_2} + {a_1} + {a_0}\\f( - 1) = {a_4}.{( - 1)^4} + {a_3}.{( - 1)^3} + {a_2}.{( - 1)^2} + {a_1}.1 + {a_0} \\= {a_4} - {a_3} + {a_2} - {a_1} + {a_0}\end{array}\)

Vì \(f(1) = f( - 1)\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}{a_4} + {a_3} + {a_2} + {a_1} + {a_0} = {a_4} - {a_3} + {a_2} - {a_1} + {a_0}\\ \Rightarrow {a_3} + {a_1} =  - {a_3} - {a_1}\\\Leftrightarrow 2{a_3} + 2{a_1} = 0\\ \Leftrightarrow \,{a_3} + {a_1} = 0\\ \Leftrightarrow {a_3} =  - {a_1}\,\, (1)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}f(1) = {a_4}{.2^4} + {a_3}{.2^3} + {a_2}{.2^2} + {a_1}.2 + {a_0} \\= 16{a_4} + 8{a_3} + 4{a_2} + 2{a_1} + {a_0}\\f( - 2) = {a_4}.{( - 2)^4} + {a_3}.{( - 2)^3} + {a_2}.{( - 2)^2} + {a_1}.2 + {a_0} \\= 16{a_4} - 8{a_3} + 4{a_2} - 2{a_1} + {a_0}\end{array}\)

Vì \(f(2) = f( - 2)\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}16{a_4} + 8{a_3} + 4{a_2} + 2{a_1} + {a_0} = 16{a_4} - 8{a_3} + 4{a_2} - 2{a_1} + {a_0}\\ \Rightarrow 8{a_3} + 2{a_1} =  - 8{a_3} - 2{a_1}\\ \Leftrightarrow 16{a_3} + 4{a_1} = 0\\ \Leftrightarrow 4{a_3} + {a_1} = 0\,\,\,(2)\end{array}\)

Thế (1) vào (2) ta được:  \(4{a_3} - {a_3} = 0 \Leftrightarrow {a_3} = 0 \Rightarrow {a_3} = {a_1} = 0.\)

Vậy đa thức \(f(x) = {a_4}{x^4} + {a_2}{x^2} + {a_0}\).

Vì \({x^4} = {( - x)^4}\,;\,\,{x^2} = {( - x)^2}\) với mọi $x,$ do đó \({a_4}{x^4} + {a_2}{x^2} + {a_0} = {a_4}{( - x)^4} + {a_2}{( - x)^2} + {a_0}\).

Suy ra \(f(x) = f( - x)\) với mọi $x.$