Biết \(xf\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 3} \right)f\left( x \right)\). Khi đó đa thức\(f\left( x \right)\) có ít nhất là bao nhiêu nghiệm?

Ta có: \(xf\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 3} \right)f\left( x \right)\) với mọi \(x\).                        

+ Khi \(x = 0\) ta có: \(0.f\left( {0 + 1} \right) = \left( {0 + 3} \right).f\left( 0 \right) \Rightarrow 0.f(1) = 3.f(0) \Rightarrow f(0) = 0\)

Vậy \(x = 0\) là một nghiệm của \(f\left( x \right).\)

+ Khi \(x + 3 = 0\) hay \(x = -3\) ta có: \(( - 3).f\left( { - 3 + 1} \right) = \left( { - 3 + 3} \right).f\left( { - 3} \right) \Rightarrow ( - 3).f( - 2) = 0.f( - 3) \Rightarrow f( - 2) = 0\)

Vậy \(x = -2\) là một nghiệm của \(f\left( x \right).\)

Vậy \(f\left( x \right)\) có ít nhất \(2\) nghiệm là \(0\) và \(-2.\)