Biết rằng \(x{e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( { - x} \right)\) trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\). Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f'\left( x \right){e^x}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 1\), giá trị của \(F\left( { - 1} \right)\) bằng:

Vì \(x{e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( { - x} \right)\) nên \(\left( {x{e^x}} \right)' = f\left( { - x} \right) \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) = {e^x} + x{e^x} = {e^x}\left( {1 + x} \right)\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{ - x}}\left( {1 - x} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) =  - {e^{ - x}}\left( {1 - x} \right) - {e^{ - x}} =  - {e^{ - x}}\left( {2 - x} \right) = \left( {x - 2} \right){e^{ - x}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right){e^x} = \left( {x - 2} \right){e^{ - x}}.{e^x} = x - 2\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{}^{} {\left( {x - 2} \right)dx}  = \dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + C\\F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + 1\\ \Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}}{2} - 2\left( { - 1} \right) + 1 = \dfrac{7}{2}\end{array}\)