Biết $\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{{{\cos }^2}x + \sin x\cos x + 1}}{{{{\cos }^4}x + \sin x{{\cos }^3}x}}dx}  = a + b\ln 2 + c\ln \left( {1 + \sqrt 3 } \right)$, với $a,\,\,b,\,\,c$ là các số hữu tỉ. Giá trị của $abc$ bằng:

$I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{{{\cos }^2}x + \sin x\cos x + 1}}{{{{\cos }^4}x + \sin x{{\cos }^3}x}}dx}  = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{1 + \tan x + 1 + {{\tan }^2}x}}{{{{\cos }^2}x\left( {1 + \tan x} \right)}}dx}  = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{{{\tan }^2}x + \tan x + 2}}{{{{\cos }^2}x\left( {1 + \tan x} \right)}}dx}$

Đặt $t = \tan x \Rightarrow dt = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx$. Đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\\x = \dfrac{\pi }{3} \Rightarrow t = \sqrt 3 \end{array} \right.$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\dfrac{{{t^2} + t + 2}}{{t + 1}}dt}  = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\left( {t + \dfrac{2}{{t + 1}}} \right)dt} \\ = \left. {\dfrac{{{t^2}}}{2} + 2\ln \left| {t + 1} \right|} \right|_1^{\sqrt 3 } = \dfrac{3}{2} + 2\ln \left( {\sqrt 3  + 1} \right) - \dfrac{1}{2} - 2\ln 2 = 1 - 2\ln 2 + 2\ln \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow abc = 1.\left( { - 2} \right).2 =  - 4\end{array}$