Y=1/3x^3 +x^2-mx đồng biến trên (1;dương vô cùng) thì m thuộc khoảng nào

Đáp án:

\(m \le 3\)

Giải thích các bước giải:

\(y' = {x^2} + 2x - m\)

Hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x - m \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow m \le {x^2} + 2x,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

Xét \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x\) có \(f'\left( x \right) = 2x + 2 > 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\) nên hàm số đồng biến trên  \(\left( {1; + \infty } \right)\) hay \(f\left( x \right) > f\left( 1 \right),\forall x > 1\)

Bài toán thỏa \( \Leftrightarrow m \le f\left( 1 \right) = 3\).

Vậy \(m \le 3\)