Xét số phức z thỏa mãn (1+2i)|z|= $\frac{\sqrt{10} }{z}$ - 2 + i . Mệnh đề nào đúng ? A: $\frac{3}{2}$ <|z|< 2 B: |z|>2 C: |z|<1/2 D: 1/2<|z|<3/2

Đáp án:

$D.\ \dfrac12 < |z| < \dfrac32$

Giải thích các bước giải:

$\quad (1+2i)|z| = \dfrac{\sqrt{10}}{z} - 2 + i$

$\Leftrightarrow |z| + 2|z|i = \dfrac{\sqrt{10}\overline{z}}{z.\overline{z}} - 2 + i$

$\Leftrightarrow \left(|z| + 2\right) + \left(2|z| - 1\right)i = \dfrac{\sqrt{10}\overline{z}}{|z|^2}$

$\Leftrightarrow\left| \left(|z| + 2\right) + \left(2|z| - 1\right)i\right|= \left|\dfrac{\sqrt{10}\overline{z}}{|z|^2}\right|$

$\Leftrightarrow \sqrt{\left(|z| + 2\right)^2 + \left(2|z| - 1\right)^2} = \dfrac{\sqrt{10}}{|z|}$

$\Leftrightarrow \left(|z| + 2\right)^2 + \left(2|z| - 1\right)^2 =\dfrac{10}{|z|^2}$

Đặt $t = |z|\quad (t> 0,\ t\in\Bbb R)$

Phương trình trở thành:

$\quad (t+2)^2 + (2t-1)^2 = \dfrac{10}{t^2}$

$\Leftrightarrow t^4 + t^2 - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t^2 = 1\\t^2 = -2\quad \text{(vô nghiệm)}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t = 1\quad (nhận)\\t = -1\quad (loại)\end{array}\right.$

$\Rightarrow |z| = 1$

$\Rightarrow \dfrac12 < |z| < \dfrac32$