Xét các số nguyên dương a,b,c,d có tổng bằng 2020, giá trị lớn nhất của ac+bc+ad bằng

Đáp án:

$GTLN(ac+bc+ad)=\dfrac{2020^2}{4}-1$

Giải thích các bước giải:

Ta có :
$ac+bc+ad=c(a+b)+ad=c(a+b)+ad+bd-bd=c(a+b)+d(a+b)-bd=(a+b)(c+d)-bd$

Mà $(a+b)(c+d)\le\dfrac{1}{4}(a+b+c+d)^2=\dfrac14.2020^2=\dfrac{2020^2}{4}$

(Bất đẳng thức Cauchy: trung bình cộng của n số thực không âm lớn hơn bằng trung bình nhân của chúng

$(a+b)+(c+d)\ge2\sqrt{(a+b)(c+d)}$ trong đó có a+b,c+d nguyên dương)

Lại có $a,b,c,d$ là số nguyên dương $\to a,b,c,d\ge 1\to bd\ge 1$

$\to (a+b)(c+d)-bd\le \dfrac{2020^2}{4}-1$

Dấu "=" xảy ra khi $a+b=c+d=1010$

                               $b=d=1\to a=c=1009$.