xét bất phương trình (log2(2x))^2 -2(m+1)log2(x)-2 <0 l. Tìm tất cả các giá trị của m để BPT có nghiệm thuộc khoảng ( căn 2 đến +vc)

Đáp án:

\(m \ge \dfrac{{ - 3}}{4}\).

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\log _2^2\left( {2x} \right) - 2\left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2 < 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}2 + {{\log }_2}x} \right)^2} - 2\left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2 < 0\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 2{\log _2}x + 1 - 2\left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2 < 0\\ \Leftrightarrow \log _2^2x - 2m{\log _2}x - 1 < 0\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _2}x\), với \(x \in \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right) \Rightarrow t \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).

Khi đó ta có: \({t^2} - 2mt - 1 < 0\) có nghiệm thuộc \(\left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).

\( \Leftrightarrow {t^2} - 1 < 2mt\) có nghiệm \(t \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2} - 1}}{{2t}} < m\) có nghiệm \(t \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\) (do \(t > 0\))

\( \Rightarrow m \ge \mathop {\min }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)} f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 1}}{{2t}}\)

Ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{{2t.2t - 2\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{4{t^2}}} = \dfrac{{2{t^2} + 2}}{{4{t^2}}} > 0\,\,\forall t \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)} f\left( t \right) = f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) =  - \dfrac{3}{4}\).

Vậy \(m \ge \dfrac{{ - 3}}{4}\).