Xét 2 số phức z1,z2 thoả mản |z1|=|z2|=1 và |z1+z2|=√3 . Giá trị lớn nhất của |3z1+2z2-4+3i|bằng

Đáp án:

$\max P = 5 + \sqrt{19}$

Giải thích các bước giải:

Cách 1: Phương pháp hình học

Gọi $A, B, C$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức $z_1;\ -z_2;\ z_1 + z_2$

Ta có:

$|z_1| = 1 \Rightarrow OA = 1$

$|z_2| = 1 \Rightarrow |-z_2| = 1 \Rightarrow OB = 1$

$|z_1 + z_2| = \sqrt3 \Rightarrow |z_1 - (-z_2)| = \sqrt3 \Rightarrow AB = \sqrt3$

Áp dụng định lý $\cos$ ta được:

$\quad AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2OA.OB.\cos\widehat{AOB}$

$\Rightarrow \cos\widehat{AOB} = \dfrac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2OA.OB}$

$\Rightarrow \cos\widehat{AOB} = \dfrac{1^2 + 1^2 - \left(\sqrt3\right)^2}{2.1.1} = - \dfrac12$

$\Rightarrow \widehat{AOB} = 120^\circ$

Gọi $M,\ N$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức $3z_1$ và $-2z_2$

$\Rightarrow \begin{cases}|3z_1| = 3 \Leftrightarrow OM = 3\\|-2z_2| = 2 \Leftrightarrow ON = 2\end{cases}$ 

$\Rightarrow |3z_1 + 2z_2| = |3z_1 - (-2z_2)| = MN$

$\Rightarrow MN = \sqrt{OM^2 + ON^2 - 2OM.OM.\cos\widehat{MON}} = \sqrt{3^2 + 2^2 - 2.3.2.\cos120^\circ} = \sqrt{19}$

Áp dụng bất đẳng thức môđun số phức, ta có:

$\quad |3z_1 + 2z_2 - 4 + 3i| \leqslant |3z_1 + 2z_2| + |-4 + 3i|$

$\Leftrightarrow P \leqslant \sqrt{19} + 5$

Vậy $\max P = 5 + \sqrt{19}$

Cách 2: Phương pháp đại số

Ta có:

$\quad |z_1+z_2|=\sqrt3$

$\Leftrightarrow |z_1+z_2|^2 = 3$

$\Leftrightarrow |z_1|^2 + |z_2|^2 + \left(z_1\overline{z_2} +\overline{z_1}z_2\right)= 3$

$\Leftrightarrow z_1\overline{z_2} +\overline{z_1}z_2 = 1$

Ta được:

$\quad |3z_1+2z_2|$

$= \sqrt{|3z_1+ 2z_2|^2}$

$=\sqrt{9|z_1|^2 + 4|z_2|^2 + 6\left(z_1\overline{z_2} +\overline{z_1}z_2\right)}$

$= \sqrt{9 + 4 + 6}$

$=\sqrt{19}$

Áp dụng bất đẳng thức môđun số phức ta được:

$\quad |3z_1 + 2z_2 - 4 + 3i| \leqslant |3z_1 + 2z_2| + |-4 + 3i|$

$\Leftrightarrow P \leqslant \sqrt{19} + 5$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi

$\begin{cases}3z_1+2z_2 = k(-4+3i),\ k\geqslant 0\\|3z_1+2z_2|= \sqrt{19}\end{cases}\Rightarrow 3z_1 + 2z_2 = \dfrac{5\sqrt{19}}{19}$

Vậy $P_{\max}= 5 +\sqrt{19}$