Xếp ngẫu nhiên 5 bệnh nhân vào 3 phòng bệnh. Tính xác suất sao cho phòng đầu có 2 bệnh nhân. Mn giải giúp mình bài này với ạ

Đáp án: $\dfrac{80}{243}$

Giải thích các bước giải:

Ta có :

$5=2+3+0=2+2+1=2+1+2=2+0+3$

$\to$Để phòng đầu có 2 bệnh nhân ta chia làm các trường hợp

+)Phòng 1 có 2 người, phòng 2 có 3 người, phòng 3 có 0 người $\to$ Có $C^2_5.C^3_3=10$ cách chọn

+)Phòng 1 có 2 người, phòng 2 có 2 người, phòng 3 có 1 người $\to$ Có $C^2_5.C^2_3=30$ cách chọn

+)Phòng 1 có 2 người, phòng 2 có 1 người, phòng 3 có 2 người $\to$ Có $C^2_5.C^1_3=30$ cách chọn

+)Phòng 1 có 2 người, phòng 2 có 0 người, phòng 3 có 3 người $\to$ Có $C^2_5.C^0_3=10$ cách chọn

$\to$Số cách xếp thỏa mãn đề là $10+30+30+10=80$ cách

Số cách xếp 5 người vào 3 phòng là: $3^5$ vì người thứ nhất có 3 cách chọn phòng, người thứ 2,3,4,5 cũng có 3 cách chọn phòng

$\to p=\dfrac{80}{3^5}=\dfrac{80}{243}$

Đáp án:

$\dfrac{80}{393}$

Lời giải:

Không gian mẫu là xếp 5 người vào 3 phòng bệnh khác nhau.

$+$ Xếp 5 người vào 1 phòng:

Chọn 1 phòng trong 3 phòng có $C_3^1$ cách, xếp 5 bệnh nhân vào.

Có $C_3^1=3$ cách 

$+$ Xếp 4 người 1 phòng:

Chọn 4 người từ 5 người có $C_5^4$ cách

Chọn 1 phòng từ 3 phòng có $C_3^1$ cách, xếp 4 người vừa chọn vào

Chọn 1 phòng trong 2 phòng còn lại có $C_2^1$ cách, xếp 1 người còn lại vào.

Có $C_5^4.C_3^1.C_2^1=30$ cách.

$+$ Xếp 3 người 1 phòng, 2 người 1 phòng:

Chọn 3 người từ 5 người có $C_5^3$ cách

Chọn 1 phòng từ 3 phòng có $C_3^1$ cách, xếp 3 người vừa chọn vào

Chọn 1 phòng từ 2 phòng còn lại có $C_2^1$ cách, xếp 2 người còn lại vào.

Có $C_5^3.C_3^1.C_2^1=60$ cách

$+$ Xếp 3 người 1 phòng, 1 người 1 phòng, 1 người 1 phòng:

Chọn 3 người từ 5 người có $C_5^3$ cách

Chọn 1 phòng từ 3 phòng có $C_3^1$ cách, xếp 3 người vừa chọn vào

Chọn 1 người từ 2 người còn lại có $C_2^1$ cách

Chọn 1 phòng từ 2 phòng còn lại có $C_2^1$ cách, xếp 1 người vừa chọn vào, người còn lại xếp vào phòng còn lại.

Có $C_5^3.C_3^1.C_2^1.C_2^1=120$ cách.

$+$ Xếp 1 người 1 phòng, 2 phòng 2 người:

Chọn 1 người từ 5 người có $C_5^1$ cách

Chọn 1 phòng từ 3 phòng có $C_3^1$ cách, xếp 1 người vừa chọn vào

Chọn 2 người từ 4 người còn lại có $C_4^2$ cách

Chọn 1 phòng từ hai phòng còn lại có $C_2^1$ cách, xếp 2 người vừa chọn vào, 2 người còn lại xếp vào phòng còn lại.

Có $C_5^1.C_3^1.C_4^2.C_2^1=180$ cách.

$\Rightarrow n(\Omega)=3+30+60+120+180=393$ cách

Gọi A là biến cố xếp cho phòng đầu có 2 bệnh nhân

$+$ Xếp 2 người 1 phòng, 3 người 1 phòng

Chọn 2 người từ 5 người có $C_5^2$ cách, xếp 2 người vừa chọn vào phòng đầu.

Chọn 1 trong 2 phòng còn lại có $C_2^1$ cách, xếp 3 người còn lại vào phòng vừa chọn.

$+$ Xếp 2 phòng 2 người, 1 phòng 1 người

Chọn 2 người từ 5 người có $C_5^2$ cách, xếp 2 người được chọn vào phòng đầu.

Chọn 2 người từ 3 người còn lại có $C_3^2$ cách

Chọn 1 phòng trong 2 phòng còn lại có $C_2^1 $ cách, xếp 2 người vừa chọn vào, xếp 1 người còn lại vào phòng còn lại.

$\Rightarrow n(A)=C_5^2.C_2^1+C_5^2.C_3^2.C_2^1=80$ cách

Vậy $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{80}{393}$.