Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức [1x−(x+x2)]n với n là số nguyên dương thỏa mãn nC3+2n=nA2+1 .

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

C3n+2n=A2n+1⇔n!3!(n−3)!+2n=n!(n−2)!+1⇔n(n−1)(n−2)6+2n=n(n−1)+1⇔n(n2−3n+2)+12n=6n2−6n+6⇔n3−9n2+20n−6=0⇔n=3⇒[1x−(x+x2)]3=3∑k=0Ck3(13)3−k.(x+x2)k=3∑k=0Ck3⋅x2k−3⋅k∑i=0Cik⋅xi=3∑k=0k∑i=0Ck3⋅Cik⋅x2k−3+i(i≤k)Cn3+2n=An2+1⇔n!3!(n−3)!+2n=n!(n−2)!+1⇔n(n−1)(n−2)6+2n=n(n−1)+1⇔n(n2−3n+2)+12n=6n2−6n+6⇔n3−9n2+20n−6=0⇔n=3⇒[1x−(x+x2)]3=∑k=03C3k(13)3−k.(x+x2)k=∑k=03C3k⋅x2k−3⋅∑i=0kCki⋅xi=∑k=03∑i=0kC3k⋅Cki⋅x2k−3+i(i≤k)Số hạng không chứa xx nên2k−3+i=0⇒{k=1i=12k−3+i=0⇒{k=1i=1

Số hạng cần tìm là C13.C11=3C31.C11=3

Đáp án:

Giải thích các bước giải: \[\begin{array}{l} C_n^3 + 2n = A_n^2 + 1 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} + 2n = \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} + 1\\ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} + 2n = n\left( {n - 1} \right) + 1\\ \Leftrightarrow n\left( {{n^2} - 3n + 2} \right) + 12n = 6{n^2} - 6n + 6\\ \Leftrightarrow {n^3} - 9{n^2} + 20n - 6 = 0 \Leftrightarrow n = 3\\ \Rightarrow {\left[ {\frac{1}{x} - \left( {x + {x^2}} \right)} \right]^3} = \sum\limits_{k = 0}^3 {C_3^k{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{3 - k}}.{{\left( {x + {x^2}} \right)}^k}} \\ = \sum\limits_{k = 0}^3 {C_3^k \cdot {x^{2k - 3}} \cdot } \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i \cdot {x^i}} = \sum\limits_{k = 0}^3 {\sum\limits_{i = 0}^k {C_3^k \cdot C_k^i \cdot {x^{2k - 3 + i}}} \,\,\,\,\left( {i \le k} \right)} \end{array}\] Số hạng không chứa \(x\) nên \[2k - 3 + i = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = 1\\
i = 1
\end{array} \right.\]

Số hạng cần tìm là \(C_3^1.C_1^1 = 3\)