xác định m để đths y=x^3-3m^2x-2m và trục hoành có đúng 2 điểm chung

Đáp án:

$\left[\begin{array}{l}m =  1\\m =- 1\end{array}\right.$

Giải thích các bước giải:

$y = x^3 -3m^2x +2m$

$TXD: D = R$

$y' = 3x^2 - 3m^2$

Hàm số cắt trục hoành tại đúng 2 điểm phân biệt

$\Leftrightarrow$ Hàm số có hai cực trị và một trong hai cực trị nằm trên trục hoành

$+)$ Điều kiện có 2 cực trị:

$\Delta_{y'}' > 0\Leftrightarrow 9m^2 > 0 \Leftrightarrow m \ne 0$

$+) \quad y' = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 3m^2 = 0 \Leftrightarrow x = \pm m$

$+)$ Phương trình hoành độ giao điểm giữa $y$ và trục hoành:

$x^3 - 3m^2x + 2m = 0$ $(*)$

$+)$ Cực trị là nghiệm của $(*)$

$\left[\begin{array}{l}m^3 - 3m^3 + 2m = 0\\-m^3 + 3m^3 + 2m = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m = 0 \quad (loại)\\m = 1\end{array}\right.\\\left[\begin{array}{l}m = 0 \quad (loại)\\m = -1\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m =  1\\m =- 1\end{array}\right.$