Xác định các giá trị của m để hàm số y= 2x^3 +3(m-1)x^2 +6(m-2)x+3 nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3

Ta có

$y' = 6x^2 + 6(m-1)x + 6(m-2)$

Xét ptrinh $y' = 0$

$6x^2 + 6(m-1)x + 6(m-2) = 0$

$<-> x^2 + (m-1)x + (m-2) = 0$

Ta có $\Delta' = (m-1)^2 - 4(m-2)= m^2 - 6m + 9 = (m-3)^2$

Dể thỏa mãn đề bài thì ptrinh phải có 2 nghiệm phân biệt. Do đó $m \neq 3$. Gọi 2 nghiệm của ptrinh là $x_1, x_2$.

Khi đó, ta có

$x_1 = 1-m-(m-3) = 4-2m, x_2 = 1 - m + m-3 = -2$

Theo tchat hàm bậc 2 thì $x^2 + 2(m-1)x + 2(m-2) < 0$ trong khoảng $(x_1, x_2)$ nên hso $ y= 2x^3 +3(m-1)x^2 +6(m-2)x+3$ nghịch biến trong khoảng $(x_1, x_2)$

Để hso nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3 thì khoảng cách giữa 2 nghiệm phải lớn hơn 3.

Ta có

$|x_2 - x_1| = |-2-(4-2m)| = |2m-6| = 2|m-3|$

Theo đề bài ta có

$2|m-3| > 3$

$<-> |m-3| > \dfrac{3}{2}$

Vậy $m > \dfrac{9}{2}$ hoặc $m < \dfrac{3}{2}$