x+căn 2x-x^2 tìm cực trị

ĐKXĐ: `2x-x^2geq0<=>0leqxleq2`

TXĐ: `D=[0;2]`

`y'=1+\frac{1-x}{sqrt(2x-x^2)}=\frac{sqrt(2x-x^2)+(1-x)}{sqrt(2x-x^2)}`

`y'=0<=>sqrt(2x-x^2)=x-1`

`<=>`$\begin{cases} x\geq1\\2x-x^2=x^2-2x+1\\ \end{cases}$`<=>`$\begin{cases} x\geq1\\-2x^2+4x-1=0\\ \end{cases}$`<=>x=(2+sqrt2)/2`

Bảng biến thiên: (hình dưới)

Vậy hàm số đã cho đạt cực đại tại `x=(2+sqrt2)/2,y_(CĐ)=1+sqrt2`

Đáp án:

 đạt cực đại tại  x=$\frac{2+\sqrt2}{2}$; y=  1+$\sqrt{2}$ 

Giải thích các bước giải:

y=x+$\sqrt{2x-x^2}$  điều kiện:  2x-x²≥0⇔0≤x≤2

đạo hàm:

y' =  1+$\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$    điều kiện: 2x-x²>0⇔0<x<2

cho y'=0 

⇔1+$\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$=0 

⇔x-1 = $\sqrt{2x-x^2}$ 

⇔$\left \{ {{x-1\geq0} \atop {2x-x^2=x^2-2x+1}} \right.$ 

⇔$\left \{ {{x\geq1} \atop {2x^2-4x+1=0}} \right.$ 

⇔$\left \{ {{x\geq1} \atop {x=\frac{2+\sqrt2}{2};x=\frac{2-\sqrt2}{2} }} \right.$  

⇔x=$\frac{2+\sqrt2}{2}$ 

lập bảng biến thiên ta thấy :

hàm số đạt cực đại tại x=$\frac{2+\sqrt2}{2}$  thế vào y = 1+$\sqrt{2}$