what: Cho hàm số y = x3 - mx + 1 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt dễ mà chỉ là mik hc ngu nên ko bt
1 câu trả lời
Đáp án:
$m>\sqrt[3]{\dfrac{27}{4}}$
Giải thích các bước giải:
$y = x^3 - mx + 1\\ y'=3x^2-m$
Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
$\Rightarrow y'$ có hai nghiệm phân biệt
$\Delta'=3m>0 \Rightarrow m>0\\ Vi-et:x_1+x_2=0\\ x_1x_2=-\dfrac{m}{3}$
Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
$\Rightarrow y(x_1)y(x_2)<0\\ \Leftrightarrow ( x_1^3 - mx_1 + 1)( x_2^3 - mx_2+ 1)<0\\ \Leftrightarrow x_1^3 x_2^3 - m x_1 x_2^3 - m x_1^3 x_2 + x_1^3 + x_2^3 +m^2 x_1 x_2- m x_1 - m x_2+ 1<0\\ \Leftrightarrow (x_1x_2)^3 - m x_1 x_2(x_1^2+x_2^2) + (x_1+ x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)+m^2 x_1 x_2- m (x_1 + x_2)+ 1<0\\ \Leftrightarrow (x_1x_2)^3 - m x_1 x_2\left((x_1+x_2)^2-2x_1x_2\right) + (x_1+ x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)+m^2 x_2 x_1- m (x_1 + x_2)+ 1<0\\ \Leftrightarrow \left(-\dfrac{m}{3}\right)^3 - m .x_1 x_2\left(-2x_1x_2\right) -m^2 .\dfrac{m}{3}+1<0\\ \Leftrightarrow -\dfrac{m^3}{27} +2 m\left(x_1x_2\right)^2 -\dfrac{m^3}{3}+ 1<0\\ \Leftrightarrow -\dfrac{m^3}{27} +\dfrac{2m^3}{9} -\dfrac{m^3}{3}+ 1<0\\ \Leftrightarrow -\dfrac{4m^3}{27}+ 1<0\\ \Leftrightarrow \dfrac{4m^3}{27}-1>0\\ \Leftrightarrow \dfrac{4m^3-27}{27}>0\\ \Leftrightarrow 4m^3-27>0\\ \Leftrightarrow m^3>\dfrac{27}{4}\\ \Leftrightarrow m>\sqrt[3]{\dfrac{27}{4}}$