với giá trị nào của m thì đường thẳng y = x-m cắt đồ thị y=x/(x-3) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho A,B ngắn nhất A) m=2 B) m=12 C)m=24 D) với mọi m _______________ đồ thị nào sau đây tiếp xúc trục hoành A) y=-x³-3x B)y=-1/3x³+x²-2/3 C)y=x³-4x²+4x D)y=x³-3x²+3x-2

Đáp án:

$1.A\\2.C.$

Giải thích các bước giải:

$1)\\ y=x-m\\ y=\dfrac{x}{x-3}$

Phương trình hoành độ giao điểm:

$x-m=\dfrac{x}{x-3}\\ \Leftrightarrow (x-m)(x-3)=x\\ \Leftrightarrow x^2-3x-mx+3m=x\\ \Leftrightarrow x^2-4x-mx+3m=0\\ \Leftrightarrow x^2-(m+4)x+3m=0$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

$\Rightarrow \Delta >0\\ \Leftrightarrow (m+4)^2-4.3m>0\\ \Leftrightarrow m^2 - 4 m + 16>0\\ \Leftrightarrow m^2 - 4 m + 4+12>0$

$\Leftrightarrow (m-2)^2+12>0$ luôn đúng

$Vi-et: x_1+x_2=m+4\\ x_1x_2=3m\\ A(x_1;x_1-m);B(x_2;x_2-m)\\ AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(x_1-x_2)^2}\\ =\sqrt{2(x_1-x_2)^2}\\ =\sqrt{2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\ =\sqrt{2}\sqrt{(m+4)^2-4.3m}\\ =\sqrt{2}\sqrt{m^2 - 4 m + 16}\\ =\sqrt{2}\sqrt{m^2 - 4 m + 4+12}\\ =\sqrt{2}\sqrt{(m-2)^2+12} \ge 2\sqrt{6}\forall \ m\\ \Rightarrow AB_{min}=2\sqrt{6} \Leftrightarrow m-2=0 \Leftrightarrow m=2\\ 2)$

Đồ thị tiếp xúc trục hoành $\Rightarrow y=0$ có nghiệm kép

$C: y=x^3-4x^2+4x=x(x^2-4x+4)=x(x-2)^2$ có $x=2$ là nghiệm kép.