Viết pt mặt cầu (S) đi qua 4 đỉnh của tứ diện A(1,0,1), B(3,4,-2), C(4,-1,1), D(3,0,3).

Đáp án:

\[{\left( {x - \frac{{115}}{{34}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{73}}{{34}}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{21}}{{34}}} \right)^2} = \frac{{12059}}{{1156}}\]

Giải thích các bước giải:

 Gọi tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là \(I\left( {a;b;c} \right)\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
I\left( {a;b;c} \right);\,\,\,\,A\left( {1;0;1} \right);\,\,\,\,B\left( {3;4; - 2} \right);\,\,\,\,C\left( {4; - 1;1} \right);\,\,\,\,D\left( {3;0;3} \right)\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AI}  = \left( {a - 1;\,\,b;\,\,c - 1} \right)\\
\overrightarrow {BI}  = \left( {a - 3;\,\,b - 4;\,\,c + 2} \right)\\
\overrightarrow {CI}  = \left( {a - 4;\,\,b + 1;\,\,c - 1} \right)\\
\overrightarrow {DI}  = \left( {a - 3;\,\,b;\,\,\,c - 3} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AI = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2} + {{\left( {c - 1} \right)}^2}} \\
BI = \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2} + {{\left( {c + 2} \right)}^2}} \\
CI = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2} + {{\left( {c - 1} \right)}^2}} \\
DI = \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {b^2} + {{\left( {c - 3} \right)}^2}} 
\end{array} \right.\\
R = IA = IB = IC = ID\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
IA = IB\\
IA = IC\\
IA = ID
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2}\\
{\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\
{\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a - 2c + 2 = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 6a - 8b + 4c + 29\\
{a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a - 2c + 2 = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 8a + 2b - 2c + 18\\
{a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a - 2c + 2 = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 6a - 6c + 18
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4a + 8b - 6c = 27\\
6a - 2b = 16\\
4a + 4c = 16
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{{115}}{{34}}\\
b = \frac{{73}}{{34}}\\
c = \frac{{21}}{{34}}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow R = IA = IB = IC = ID = \frac{{\sqrt {12059} }}{{34}}\\

\end{array}\)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

\({\left( {x - \frac{{115}}{{34}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{73}}{{34}}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{21}}{{34}}} \right)^2} = \frac{{12059}}{{1156}}\)