Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung giữa 2 đường thẳng : d1 : x= 3-2t y=1+4t z= -2+4t d2: x=2+3t y=4-t z= 1-2t

Đáp án:

$\begin{cases}x = \dfrac75 + 2t'\\y = \dfrac{21}{5} - 4t'\\z = \dfrac75 + 5t'\end{cases}\quad (t'\in\Bbb R)$

Giải thích các bước giải:

Gọi $(d)$ là đường vuông góc chung giữa $(d_1)$ và $(d_2)$

Gọi $(d)\cap (d_1) =\{M\};\ (d)\cap (d_2)= \{N\}$

$\Rightarrow M(3-2t_1; 1+4t_1; -2 + 4t_1);\ N(2+3t_2; 4-t_2; 1-2t_2)$

$\Rightarrow\overrightarrow{MN}= (-1 + 2t_1 + 3t_2; 3 - 4t_1 - t_2; 3 - 4t_1 - 2t_2)$

$\Rightarrow \begin{cases}MN\perp (d_1)\\MN\perp (d_2)\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{u_1}= 0\\\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{u_2}= 0\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}(-1+2t_1+3t_2).(-2) + (3-4t_1-t_2).4 + (3-4t_1- 2t_2).4 = 0\\(-1+2t_1+3t_2).3 + (3-4t_1-t_2).(-1)+ (3-4t_1- 2t_2).(-2) = 0\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}18t_1 + 9t_2 = 13\\9t_1 + 7t_2 = 6\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}t_1 = \dfrac{37}{45}\\t_2 = -\dfrac15\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}N\left(\dfrac75;\dfrac{21}{5};\dfrac75\right)\\\overrightarrow{MN}=\left(\dfrac{2}{45};-\dfrac{4}{45};\dfrac19\right)\end{cases}$

Chọn $\overrightarrow{u}= (2;-4;5)$ cùng phương với $\overrightarrow{MN}$

Ta được:

$(d):\begin{cases}x = \dfrac75 + 2t'\\y = \dfrac{21}{5} - 4t'\\z = \dfrac75 + 5t'\end{cases}\quad (t'\in\Bbb R)$