Tùy theo a,b tìm GTLN,GTNN của hàm số 1) y= sin^4x +cos^4x + asinxcosx 2) y= sin^4x +cos^4x + bsinxcosx Hứa chọn ctlhn

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đặt $ t = sinxcosx $ chung cho 2 câu nhá

$ |t| = |sinx.cosx| ≤ \dfrac{sin²x + cos²x}{2} = \dfrac{1}{2} ⇔ t ∈[-\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}]$

1) $ y = sin^{4}x + cos^{4}x + a.sinxcosx$

$ = (sin²x + cos²x)² - 2sin²xcos²x = asinxcosx = 1 - 2t² + at (*)$

$ y' = - 4t + a = 0 ⇔ t = \dfrac{a}{4}$

$ y(\dfrac{a}{4}) = \dfrac{a² + 8}{8}; y (- \dfrac{1}{2}) = \dfrac{1 - a}{2}; y (- \dfrac{1}{2}) = \dfrac{1 + a}{2}$

- Nếu $: a < - 2 ⇔ \dfrac{a}{4} ≤ - \dfrac{1}{2} < t ⇔ a - 4t < 0 ⇔ y' < 0$

$ ⇒ $hàm số $(*)$ nghịch biến trên đoạn $ [-\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}]$

$ GTLN$ của $y = y (- \dfrac{1}{2}) = \dfrac{1 - a}{2}$

$ GTNN$ của $y = y (\dfrac{1}{2}) = \dfrac{1 + a}{2}$

- Nếu $ - 2 ≤ a ≤ 2 ⇔ - \dfrac{1}{2} < t < \dfrac{a}{4} ≤ 0 $

$ ⇒$ hàm số $(*)$ đồng biến trên đoạn $ [-\dfrac{1}{2}; \dfrac{a}{2}]$

 nghịch biến trên đoạn$  [\dfrac{a}{2}; \dfrac{1}{2}]$

$ ⇒ GTLN$ của $y = y (\dfrac{a}{2}) = \dfrac{a² + 8}{8}$

$ GTNN$ của $y = y (\dfrac{1}{2}) = \dfrac{1 +  a}{2} ( a ≤ 0)$

$ GTNN$ của $y = y (- \dfrac{1}{2}) = \dfrac{1 - a}{2} ( a ≥ 0)$

- Nếu $: a > 2 ⇔ \dfrac{a}{4} > - \dfrac{1}{2} > t ⇔ a - 4t > 0 ⇔ y' > 0$

$ ⇒$ hàm số $(*)$ đồng biến trên đoạn $ [-\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}]$

$ GTLN$ của $y = y (\dfrac{1}{2}) = \dfrac{1 + a}{2}$

$ GTNN$ của $y = y (- \dfrac{1}{2}) = \dfrac{1 - a}{2}$

2) $ y = sin^{6}x + cos^{6}x + a.sinxcosx$

$ = (sin²x + cos²x)³ - 3sin²xcos²x(sin²x + cos²x) + bsinxcosx $

$ = 1 - 3t² + bt (**)$

$ y' = - 6t + b = 0 ⇔ t = \dfrac{b}{6}$

$ y(\dfrac{b}{6}) = \dfrac{b² + 12}{12}; y (- \dfrac{1}{2}) = \dfrac{1 - 2b}{4}; y (\dfrac{1}{2}) = \dfrac{1 + 2b}{4}$

Đến đây bạn tự phân đoạn $b$ và xét các khoảng như câu 1)