•Trong mặt phẳng phức,xét hình bình hành tạo bởi các điểm$ 0,z,\frac{1}{z}$ và $z+\frac{1}{z}$.Biết z có phần thực dương và diện tích hình bình hành bằng $\frac{35}{3Xà7}$.Tìm GTNN cuả $|z+\frac{1}{z}|^2$ •Xác định dạng cuả đường bậc hai (C) có phương trình:$x^2+7y^2-8xy-2x+4y+1=0$ (Gợi ý:Dạng cuả đường bậc 2 có các dạng:Mặt cầu,mặt elipsoid,hyperbolic 1 tầng,hyperbolic 2 tầng,nón eliptic,parabolic eliptic,parabolip hyperbolic,mặt trụ eliptic,mặt trụ hyperbolic,mặt trụ parabolic).

Lời giải:

•(Tự vẽ hình nha)

Gọi O,A,B,C lần lượt là điểm biểu diễn số phức $0,z,\frac{1}{z}$ và $z+\frac{1}{z}$

Khi đó diện tích hình bình hành OACB là:

$S=OA.OB.sinФ=|z|.|\frac{1}{z}|.sinФ=\frac{35}{37}<=>sinФ=\frac{35}{37}$

$=>cosФ=±\sqrt{1-sin^2Ф}=±\frac{12}{37}$

Áp dụng định lí cosin trong ∆OAC ta có:

$|z+\frac{1}{z}|^2=OC^2=OA^2+OB^2-2.OA.OB.cosФ=|z|^2+|\frac{1}{z}|^2-2|z|.|\frac{1}{z}|.cosФ=|z|^2+\frac{1}{|z|^2}-2cosФ$

⇔$|z+\frac{1}{z}|^2≥2-2.\frac{12}{37}=\frac{50}{37}$.Vậy GTNN cuả $|z+\frac{1}{z}|^2=\frac{50}{37}$(Dấu "=" xảy ra⇔$|z|=1$ và $cosФ=\frac{12}{37}$.

•Ta có:

$\overline{Q}=\left(\begin{array}{ccc}1&-4&-1\\-4&7&2\\-1&2&1\end{array}\right)=>det\overline{Q}=-4\neq 0$ 

⇒$(C)$ là đường conic.

Mặt khác:

$Q=\left(\begin{array}{ccc}1&-4\\-4&7\end{array}\right)=>detQ=-9< 0$ 

Vậy $(C)$ là đường hyperbol.