Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang ABCD (AB//CD) , biết A(1,-1,1),B(3,1,2),D(-1,0,3) và góc BCD = 45 độ. xác định tọa độ đỉnh C ? Gợi ý cách làm cũng được ạ

Gọi tọa độ đỉnh C là (x,y,z). Ta có $$\vec{AB} = (2, 2, 1), \vec{DC} = (x+1, y, z-3), \vec{BC} = (x-3, y-1, z-2).$$ Do AB // CD nên ta có tỷ lệ $$\dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z-3}{1}$$ Từ tỷ lệ này ta suy ra $$\begin{cases} x = 2z - 7\\ y = 2z - 6 \end{cases}$$ Vậy $\vec{BC} = (2z-10, 2z-7, z-2)$. Do AB//CD nên $(\widehat{(AB,BC)} = 45^{\circ}$. Mặt khác, ta có $$\cos (\widehat{(AB,BC)}) = \cos (45^{\circ}) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\vec{AB}.\vec{BC}}{|\vec{AB}|.|\vec{BC}|}$$ Ta có $$\begin{cases} \vec{AB} . \vec{BC} = 2(2z-10) + 2(2z-7) + (z-2) = 9z -36\\ |\vec{AB}| = \sqrt{9}, |\vec{BC}| = \sqrt{9z^2 -72z + 153} \end{cases}$$ Thay vào đăng thức của cos, nhân chéo lên ta có $$3 . \sqrt{9z^2 -72z + 153} = \sqrt{2}(9z-36)$$ DK: $9z \geq 36$ hay $z \geq 4$. Bình phương 2 vế lên ta có $$9(9z^2 -72z + 153) = 2(81z^2 -648z + 1296)$$ Phá ngoặc ta có ptrinh tương đương vs $$81z^2 -648z +1215 = 0$$ Nghiệm của ptrinh là $z = 5$ hoặc $z = 3$. Ta thấy chỉ có nghiệm $z=5$ thỏa mãn. Vậy $C(0,3,3)$.