Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;1;3);B(3;0;2);C(0;−2;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ CI đến (P) lớn nhất.

Đáp án:

$(P): 3x + 2y + z - 11 = 0$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$AB = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}= \sqrt3$

$AC = \sqrt{2^2 + 3^2 + 2^2}=\sqrt{17}$

$BC =\sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2}=\sqrt{14}$

Nhận thấy $AC^2 = AB^2 + BC^2$

$\Rightarrow ∆ABC$ vuông tại $B$ (định lý Pytago đảo)

$\Rightarrow CB\perp AB$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên $(P)$

$\Rightarrow CH\perp (P)$

$\Rightarrow CH\leqslant CB$ (mối quan hệ đường vuông góc - đường xiên)

$\Rightarrow \max CH = CB$

$\Rightarrow H \equiv B$

$\Rightarrow CB\perp (P)$

$\Rightarrow \overrightarrow{CB}= (3;2;1)$ là VTPT của $(P)$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $B(3;0;2)$ nhận $\overrightarrow{CB}= (3;2;1)$ làm VTPT có dạng:

$\quad 3(x-3) + 2(y-0) + 1(z -2) = 0$

$\Leftrightarrow 3x + 2y + z - 11 = 0$

Vậy $(P): 3x + 2y + z - 11 = 0$