Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(4; -1; 2); B(1; 2; 2), C(1; -1; 5) a) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều. b) Viết Phương trình mp(ABC). Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi mp(ABC) và các mặt phẳng tọa độ. c) Viết phương trình trục của đường tròn ngoại tiếp ΔABC d) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là tứ diện đều.

a) Ta có, AB→(-3,3,0),AC→(-3,0,3),BC→(0,-3,3) suy ra AB = AC = BC = 3√2 nên tam giác ABC là tam giác đều.

b) Mp(ABC) là mặt phẳng đia qua A(4; -1; 2) và nhận [AB→,AC→ ]=(9;9;9) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là: x+y+z-5=0

Mặt phẳng (ABC) cắt trục tọa độ lần lượt tại:

M(5; 0; 0); N(0; 5; 0), P(0; 0; 5)

Thể tích khối chóp OMNP là:

V= 1/6.5.5.5=125/6

c) Trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC và vuông góc với mp(ABC). Tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm M thõa mãn MA = MB = MC

Vậy trục của đường tròn là đường thẳng đi qua M(2; 0; 3) và nhận vectơ [AB→,AC→ ]=(9;9;9), chọn u→ (1; 1; 1) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là:

(x= 2+ t, y= t, z= 3+ t

d) Để ABCD là tứ diện đều thì D nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp ΔABC và DA = AB = 3√2

Vì D nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp ΔABC nên tọa độ của D có dạng: D(2+t; t; 3+t).

Vì DA = 3√2 <=> DA²=18 <=>(2-t)²+(1+t)²+(1+t)²=18

<=> 3t²=12 => t²=4 => t=±2

Với t = 2 => D(4; 2; 5); với t = -2=> D(0; -2; 1)

Vậy có hai điểm D thỏa mãn bài toán.